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SISTEMAS DE NUMERACIÓN

 MATEMÁTICA  DE 6º

Luis Fernando Posada Martínez

Sistemas de numeración

Historia de los sistemas de numeración

En los comienzos de la historia el ser humano contaba con las manos, haciendo una correspondencia biunívoca entre los dedos y los objetos.
Los sistemas de numeración fueron evolucionando, dependiendo del grupo humano y de su ubicación geográfica. Los signos creados por cada grupo se caracterizaban por ser FINITOS y determinar la base de su sistema de numeración. Los egipcios, griegos y romanos no tuvieron una adecuada manera de representar los números, lo que les impidió hacer mayores progresos en el cálculo matemático. Los hindúes, en cambio habían desarrollado un práctico sistema de notación decimal, al descubrir el ¨ cero ¨ y el valor posicional de las cifras. Los árabes dieron a conocer este sistema en Europa a partir del siglo VIII después de cristo, por eso nuestras cifras se llaman INDOARÁBIGAS. En muchas ocasiones necesitamos trabajar con números muy grandes, por esta razón se hace necesario desarrollar sistemas que permitan representar números de una manera sencilla, usando diferentes símbolos.

Sistemas de numeración
Un sistema de numeración es un conjunto de símbolos que se usan de acuerdo con ciertas reglas o principios (aditivos, multiplicativos, sustractivos, repetitivos o posicionales) para asignar numerales a las diferentes cantidades. Nosotros utilizamos un sistema de numeración que consta únicamente de 10 símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, llamados dígitos, derivado de la palabra DEDO.

Sistema decimal

Este sistema de numeración consta de 10 símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, llamados dígitos por esta razón se denomina SISTEMA DECIMAL o sistema de base 10. El sistema decimal inicialmente se estudia ayudándonos de un aparato llamado ÁBACO.

Ábaco  decimal 

Los ábacos pueden tener distintas formas, estos pueden ser abiertos o cerrados. En las varillas del ábaco podemos representar cada una de las cifras de los diferentes órdenes de magnitud que componen un número cualquiera: unidades (U), decenas (D), centenas (C), unidades de millar (UM), decenas de millar (DM), centenas de millar (CM)…. En el ábaco decimal cada vez que tenemos un grupo de 10 bolas o arandelas en una columna, las quitamos y las cambiamos por una sola bola en la columna siguiente a su izquierda.

Ejemplo

Si representamos  el número  6 en el ábaco decimal, nos ubicamos en las unidades:

Si representamos el número 12 en el ábaco decimal, ubicamos 1 arandela en las decenas y 2 arandelas en las unidades:

Si representamos el número 53 en el ábaco decimal, ubicamos 5 arandelas en las decenas y 3 arandelas en las unidades:

El sistema decimal cumple con los principios aditivo, multiplicativo y posicional, aplicados a los dígitos. En la siguiente tabla observaremos la posición que ocupan las cifras de un número cualquiera, cada posición corresponde a una potencia sucesiva de base 10.

Ejemplo

Valor relativo y absoluto

El valor relativo de un número es el valor que toman los números según su posición.
El valor absoluto de un número es el mismo número, sin importar su posición. 
Ejemplo
Halle el valor relativo y absoluto de los círculos que encierran a cada número:

Historia y evolución de los sistemas numéricos    Sistemas de numeración: presentación     Sistemas de numeración, animación

Sistema binario

El sistema binario es un sistema de base dos, en el cual los números son escritos usando solamente dos símbolos 0 y 1. Este sistema aplica los principios aditivo, multiplicativo y posicional. El sistema de base dos o binario es el sistema de numeración utilizado por los computadores. Para representar en el ábaco un número en el sistema de base dos, se hace lo siguiente: Cada vez que tenemos un grupo de dos bolas o arandelas en una columna, las quitamos y las cambiamos por una sola bola en la columna siguiente a su izquierda.

Ejemplo 

Para convertir un número de base 10 (decimal) al sistema binario se realizan  divisiones sucesivas por dos, del número a convertir hasta  donde sea posible, luego  se escribe  el último cociente y los residuos obtenidos del último al primero. Ejemplo

      Sistema binario: Tutorial   Sistema binario II    Números binarios: Video   Base dos

Sistema de numeración romano

En el sistema de numeración romano se utilizan 7 letras para escribir sus números, las letras que utilizaremos son:

En la numeración romana existen números principales y secundarios.

Los números principales son:   I,  X,  C   y  M

Los números secundarios son:   V,  L   y  D

Propiedades de la numeración romana

          Para representar un número en el sistema romano se utilizan las siguientes propiedades:

P1    Una letra  a la derecha  de otra mayor o de igual  valor se suma.  Ejemplo

XX      =  10 +  10  =    20

DC    =  500  +  100   =  600

XI       = 10  +  1 = 11

CL      =  100  +  50 =  150

P2    Las letras I, X o C a la izquierda de otra  de mayor valor, se restan.  Ejemplo

IX      =  10  - 1         =    9

XC     =  100 - 10     =  90

CM    = 1000 -  100 = 900

IC        =  100  -  1      =  99

P3    Las letras I, X, C y M se pueden repetir solo hasta tres veces.  Ejemplo

XXX    =  10 + 10  +  10           =  30

CCC  =  100 + 100 + 100        =  300

MMM = 1000 +  1000 + 1000  = 3000

III         =  1 +  1 + 1                           =  3

P4    Las letras V, L y D (letras secundarias)  no  pueden repetirse y colocarse a la izquierda de otra de mayor valor.  Ejemplo

VV es diferente  X      =  10 

VX  es diferente  V     =  5

LL  es diferente   C    = 100

LC  es diferente   L    = 50

DD  es diferente   M   =  1000

DM  es diferente   D   =  500

P5   Una o varias letras con una raya  encima, multiplican su valor por 1000.  Ejemplo          

         Ejemplo

Expresar  los siguientes números en el sistema romano

Números romanos    Números romanos II Romanos del 1 al 1000

Aprovechando todas las herramientas que nos traen las TIC, y los recursos didácticos en el proceso ENSEÑANZA APRENDIZAJE de la matemática, en las siguientes direcciones electrónicas podemos encontrar lecturas complementarias  y una serie de animaciones que nos ayudarán a una mejor comprensión de todo lo relacionando con los sistemas de numeración y su aplicación   en la naturaleza.

Lógica y conjuntos
Los números naturales
Potencias, radicales y logaritmos en los naturales
Sistemas de numeración
Los números enteros
Teoría de números
Los números fraccionarios
Sistemas geométricos
Estadística